在此前的课程中，我们深入学习了引力波的计算，并掌握了测地偏离方程的推导与应用。本节课将开启一个全新的篇章——宇宙学。在这一部分，我们将重点介绍如何从基本原理出发，推导出宇宙学的基石——FLRW 度规。3月2日12时，《张朝阳的物理课》第二百三十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，在回顾宇宙学原理如何确定度规形式及史瓦西时空的求解过程后，进一步探讨了如何通过将宇宙学度规写成静态形式，并借助求解史瓦西时空的方法，利用最大对称空间假设推导径向曲率函数的解析表达式。

（张朝阳最大对称空间假设下推导径向曲率函数的手稿）

宇宙学原理

在宇宙中，引力是起主导作用的基本力，尤其在大质量天体或者星系、星系团所主宰的区域中尤为明显。我们此前求解过恒星的内部解和外部解，并研究过爱因斯坦场方程，而其核心目标正是确定时空的度规。一旦度规被确定，整个时空的几何结构也随之明确。

在早期的研究中，例如求解史瓦西度规时，我们通常假设时空具有静态球对称性。这样的对称性不仅大大简化了度规的形式，也使得方程更易于求解。因此，在研究特定物理问题时，分析其对称性以及带来的便利是非常重要的。

在宇宙学中，一个极为重要的假设是爱因斯坦所提出的宇宙学原理，即在极大的尺度（大于 10 亿光年）上，宇宙可以被视为均匀且各向同性的。这意味着，我们可以忽略恒星、星系、星云以及星系团等局部结构的细节，仅关注整体的平均性质。这一情形类似于从飞机俯瞰森林时，我们的人眼看到的只是连绵的绿色，而个别树木的形状、种类等细节只有借助高倍望远镜才能分辨。从这个意义上说，宇宙学原理像是一个视力极差的人来观测我们的宇宙，看到的模糊效果。

在宇宙学原理的框架下，各向同性意味着球对称性仍然成立，而均匀性进一步表明，时空的度规应当允许选取一种特殊的坐标系，使得时间和空间保持正交。进一步，可以选择一个适当的时间坐标，使得线元中时间前的因子归一，即设为 1，这相当于在三维空间的任意位置具有相同的宇宙时，并以相同的时间流逝。由于我们仅要求空间在每个时刻保持均匀各向同性，因此其几何结构应当在某一时刻内具有相同的性质，而随时间演化时，空间整体可能发生膨胀或收缩。这表明，空间尺度可以是时间的某个函数，即度规应当包含一个刻画宇宙膨胀或收缩的因子。因此，在此坐标系下，宇宙的线元可写为

对应的度规为

经过宇宙学原理的对称性约束后，度规中仅剩下两个未知函数：a(t)和b(r)。这正是对称性在物理问题中展现出的强大作用——通过合理的对称性假设，我们能够大幅减少未知变量，使问题变得更具可解性。这里的a(t) 被称为尺度因子（scale factor），它描述了宇宙在时间演化过程中整体膨胀或收缩的程度。而b(r)则与空间几何的具体形式相关，我们将之称为径向曲率函数（radial curvature function）。这一度规形式奠定了宇宙学中的基本框架，为我们进一步研究宇宙学提供了数学基础。

在采用宇宙学原理之后，我们可以对物质的分布进行平滑化处理，仅关注其统计性质，而无需考虑局部的细节。换句话说，个体的恒星、星系、星团等具体结构可以被忽略，我们只关心其整体的平均行为。在这样的近似下，宇宙中的物质表现得类似于一团均匀各向同性的理想流体。这一思路与求解恒星内部解时的做法类似——在研究恒星结构时，我们将恒星视为理想流体。同样，在宇宙学中，我们可以利用理想流体的连续性方程和能量动量张量来描述宇宙的整体演化。这一部分我们将在下一节讨论。

回顾史瓦西时空的求解过程

我们先回顾史瓦西时空的求解过程。在具体求解史瓦西时空的过程中，我们首先假设线元的形式为

该线元对应的度规为

根据这一度规，我们可以计算克氏符，其表达式为

在该度规下，非零的克氏符分量为

其中，A′(r)和B′(r) 表示对r的导数，指标0表示时间坐标，1表示径向坐标r，2表示角向坐标θ，3表示极向坐标ϕ。接下来，将这些克氏符代入里奇张量的表达式

可以得到非零的里奇张量分量：

这些计算结果在求解史瓦西度规的过程中已经得到了，因此我们后面可以直接使用它们。具体计算过程可参考2023年12月31日跨年演讲的第194期。接下来，我们利用真空爱因斯坦方程（即里奇平坦条件）：

并结合适当的边界条件和渐进条件之后，求解A(r)和B(r)的具体形式。最终得到：

其中

被称为史瓦西半径。对于太阳来说，其史瓦西半径仅约3 km。

(张朝阳回顾讲解史瓦西度规的求解过程)

求解径向曲率函数b(r)

为了求解宇宙学度规中的径向曲率函数b(r)，我们希望避免重新计算复杂的黎曼曲率张量、里奇张量和曲率标量。相反，我们想利用先前在史瓦西度规中已经推导出的里奇张量的形式，直接提取b(r) 的信息。这种方法不仅可以简化计算过程，还能有效利用已有的计算结果，使推导变得更加高效。

为了利用史瓦西度规的结果，我们必须假设宇宙学度规中的尺度因子a(t) 为常数。这是因为史瓦西度规描述的是静态时空，而宇宙学度规则对应于动态时空，二者完全不同，无法直接联系起来。只有在尺度因子不随时间变化的特殊情况下，宇宙学度规才会退化为一个静态形式，从而使得两者具备可比性。

接下来，我们通过适当的坐标变换，将宇宙学度规的形式调整为与史瓦西度规相匹配，从而能够直接利用史瓦西解的已知结果来确定径向曲率函数b(r)。首先，假设宇宙学度规中尺度因子a为常数，此时的线元（1）可以写为：

我们引入如下坐标变换：

其中A为常数，A的导数为零。将其微分形式写出：

其中 A 为常数。将其微分形式写出：

并代入线元（5），可得

这就是新坐标系下的线元形式，且恰好与求解史瓦西度规时假设的线元（2）形式一致。因此，我们可以直接利用史瓦西解的里奇张量分量（3）和（4），并在其中代入A为常数的条件，A的导数为零，史瓦西解的方程大大简化，得到新的里奇张量分量：

由于这些表达式是在新的坐标系中定义的，里奇张量的分量都写为R'表示。b和B之间的关系有

(张朝阳推导宇宙学度规）

计算出上面两个里奇张量的分量之后，我们可以采取两种方式来理解并求解曲率函数b：一种是物理课线上所使用的最大对称空间的假设，第二种是利用空间的均匀各向同性。在第一种方法中，我们假设线元（1）或（5）描述的是一个具有最大对称性的空间，即常曲率空间。常曲率空间具有最高对称性，即有n(n+1)/2个对称性，其中n是空间的维数。在这种情况下，该空间的黎曼曲率张量满足

其中这里的k1称为常曲率，当描述的是二维最大对称空间（如球面或双曲面），曲率k1等同于曲面论中的高斯曲率。对于宇宙学的情况，上式中的度规g'是三维空间部分。从而得到里奇张量和曲率标量分别为

接下来，我们将这个里奇张量的11分量与等式（7）中的结果对比，得到

将里奇张量的22分量与等式（8）中的结果对比，得到

这里我们用到了

重写等式（9）和（10）：

两等式右侧相等，可直接得到函数B或者径向曲率函数b的表达式：

因此，线元（6）可以写为

然后通过坐标变换回到旧坐标系，我们得到

其中

最后将上述线元中的尺度因子a恢复成时间的函数：

这就是在最大对称空间假设下推导出的宇宙学线元。该结果表明，在均匀各向同性的前提下，空间的度规必须具有常曲率形式，而径向曲率函数b(r)由空间的空间曲率k决定。这一线元中再假设将尺度因子推广为时间的函数，正是标准弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）度规的空间部分，描述了宇宙在不同曲率情况下的几何结构。k=0对应于三维平直空间的情况，k<0对应于三维双曲空间的情况，k>0对应于三维球面。值得注意的是，我们虽然用了静态假设推导出了径向曲率函数b(r)的形式，但通过直接求解带宇宙学常数、能动张量为理想流体的爱因斯坦场方程，得到的结果相同，实质上不依赖于静态假设。

（张朝阳最大对称空间假设下推导径向曲率函数）

另一种推导宇宙学度规的方法是将里奇张量的分量写成(1,1)型

在空间均匀各向同性的假设下，上述两个表达式应该相等。其物理意义在于，空间的各个方向是等价的，因此里奇张量的空间对角分量必须相同。这类似于理想流体的能量动量张量，在(1,1)型表示时，空间部分的压强分量必须一致：

同理，由于空间的各向同性，我们要求

表达式（8）和（9）代入其中，可得

整理后，得到

将其写成全微分形式：

积分后可得

最终得到

这一结果与前面通过最大对称空间假设推导出的最终结果一致，进一步验证了均匀各向同性条件下，空间必须具有常曲率形式。这表明无论采用哪种方法，FLRW 度规的空间部分都应满足相同的数学结构。

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