申皓，2006年、2008年先后在北京大学获得本科和硕士学位，2013年获（美国）普林斯顿大学博士学位；曾在（英国）华威大学从事博士后研究、担任（美国）哥伦比亚大学Ritt助理教授；2018年起任教于（美国）威斯康星大学麦迪逊分校，现为威斯康星大学教授。申皓的研究方向是随机偏微分方程、概率、数学物理。2025年春，申皓获得戴维逊奖（Rollo Davidson Prize），该奖面向全球遴选，是概率领域最重要的国际性奖项之一。

“您觉得现在回到北大，和您当时求学时的感受有什么差别吗？变化大吗？”

“当然有很大差别。首先是硬件设施的提升，大家都能看到，确实一年比一年好。我记得刚入学的时候，北大连洗衣房都没有，我好像还用过搓衣板（笑），还要自带铁饭盒去食堂。现在的硬件改善很明显，特别是食堂，前一阵有个外国教授去北大访问也对咱们食堂赞不绝口，每天都去熟练地占座。第二个，随着越来越多年轻学者的回归，整体教学力量也得到了很大的提升。以前的教授已经很强，现在又增加了更多年轻的活力，整体水平明显更强。”

文：王家民 周书涵

Q1：首先想请申老师简单介绍一下目前的研究方向和您最近比较关注的问题。

A：我目前主要的研究方向是随机偏微分方程（随机PDE，SPDE），这类方程本质上是在经典PDE中加入了随机扰动项。我目前最关注的一类SPDE是来源于规范场论中的模型，尤其是与Yang–Mills场论相关的系统。这类方程在局部正则性方面非常困难，因为它们的解正则性极低，且需要在这种低正则性的框架下处理无穷维的规范对称性。我们最近在这方面也取得了一些进展。另外，我们也非常关注与这些SPDE相关联的离散模型。比如说，可以将量子场论在格点上离散化，从而得到类似于统计物理中的模型；一个具体的例子是所谓的格点Yang–Mills模型。这类模型类似于Ising模型，但它的spin取值在某些李群上，从而拥有更丰富的局部对称性。在这类模型中可以研究类似关联衰减（correlation decay）等统计物理中的核心问题。

总体来讲，我关心的主题是量子场论与概率论之间的联系。量子场论作为现代物理最基本的理论框架之一，长期以来对数学的许多分支产生了深远的影响。例如，在几何与拓扑中，量子场论推动了模空间与不变量理论的发展；在表示论中，引入了如量子群等新概念；在泛函分析的发展中，也有着根深蒂固的影响。

近年来，量子场论对概率论也产生了越来越深刻的影响，这是我目前特别感兴趣的现象。一方面，一些数学物理的核心问题（比如Yang–Mills量子化问题）似乎可以借助概率方法作为研究路径；另一方面，在研究这些问题的过程中，也催生了许多概率论和随机分析的新工具和理论。这种影响是双向的。例如，十年前Martin Hairer提出的正则性结构理论，它标志着随机分析领域的一次重大突破。围绕量子场论与概率的交叉问题展开研究，是我目前最为关注的一条研究主线。

Q2：您今年获得了Rollo Davidson奖，这是概率领域的重要国际奖项。在您看来，获奖对您目前的研究意味着什么？是否也影响了您未来的研究方向？

A：我非常荣幸能荣获这个奖。得到同行的认可，自然是非常令人高兴的事情。这次获奖的理由是我在SPDE理论方面的研究，特别是关于随机Yang–Mills流方面所做的工作，这也反映出这个领域正在受到越来越多的重视。更重要的是希望这个奖项能够鼓励更多年轻学者关注并投入到这个方向的研究中来。这个领域还存在很多深刻而有趣的问题，值得更多人一起探索。

Q3：您本科和硕士阶段都在北大完成，硕士期间师从田刚老师。这段经历对您有什么影响吗？

A：我在本科的时候，其实最喜欢的方向是几何和拓扑。大四那年我开始比较多地跟田刚老师交流，起初是参加他在北大组织的一个几何讨论班。当时讨论班的频率很高，内容也非常深入。一开始田老师让我读一些材料，在讨论班上做报告。他给我看的第一本书是Seiberg-Witten Theory，这是一种在交换群背景下提出的规范场论模型，相对简单，但已经有很多非常漂亮的结论和在几何拓扑中的应用。从这个方程出发，可以定义模空间，构造出一类非常有效的不变量，对四维流形研究有重要意义。那时候我也顺带看了一些Yang–Mills理论。田老师后来也指导我尝试做了一些四维流形方面的课题。

不过我当时心里一直有个困惑：Seiberg和Witten是物理学家，他们是如何从物理出发提出这样一个方程的？我虽然可以理解数学上构造不变量的部分，但对这个方程背后的物理，比如路径积分、超对称、对偶性这些东西，我完全看不懂。所以我那时候就非常好奇，可能这种好奇心成了我后来对数学物理感兴趣的开端。那时候当然没有想到，很多年后我会在概率和随机分析中重新遇到这些问题。

其实我本科的时候对概率还没有太大感觉。记得我第一门概率课的最后，需要查正态分布表。我当时想这门课上到最后需要查表，好像不太“高大上”，就没太关注。当然现在来看，并不是这样的。那时候我对数学方向其实想法挺多的。我喜欢数学物理，一个原因是觉得它离现实世界更近；再加上在北大数院，身边大师云集，自己也并不太确定做纯数学研究是不是能“生存”下来；我编程能力还不错，也考虑过要不要去做计算相关的行业。我还记得田老师当时跟我说：“不管你最后干什么，都要有点耐心和坚持。”这句话对我影响挺深的。

申皓北大毕业留影

Q4：您在博士阶段选择了鄂维南老师作为导师，并开始研究与SPDE相关的课题。当时是出于怎样的考虑做出这样的选择？这段经历对您之后的学术发展产生了哪些影响？

A：我印象比较深的是快要出国的时候，有一次联系鄂老师，他问我是不是还没学过Itô随机微积分这些内容。他说这是很基本但非常重要的工具。所以我那个暑假就开始抓紧补这些基础，接着第一年在Princeton上了几门概率课，才算是把这些基础补上。所以严格来说，我是去了美国以后才真正开始系统地学习概率的。

我读PhD刚开始并没有集中做SPDE，当时鄂老师建议我去了解一个很有意思的东西，叫“重整化群”。这是一个起源于物理学的概念，但它在非常多的场景中都会出现，比如统计力学、量子场论、湍流理论、动力系统，当然还有SPDE；甚至几何中的Ricci流，从某种意义上看也可以理解为一种重整化群。所以说，我当时是以“重整化群”作为一个总的主题，去系统地学习了很多不同分支的内容。这种训练对我后来的研究影响很大。我记得在我PhD后期Hairer发表了一篇重要的KPZ方程的文章，我才在鄂老师的指导下开始集中考虑SPDE。

其实学术道路上的方向转变是很常见的。我认识一个领域里非常厉害的人，他是做纯PDE出身的，据说他当教授以后才开始学“什么叫随机变量”。但他现在在这个交叉领域做得非常好。当然我觉得前提是出于真实的兴趣，而不是随便跳来跳去。

Q5：您如何看待“交叉学科”在现代数学研究中的地位？您的研究往往位于多个子领域的交汇点，在与合作者的交流中，您觉得最大的挑战和收获是什么？

A：我觉得“交叉学科”在当代数学研究中已经是一个非常普遍的现象。以概率论为例，它和偏微分方程（PDE）的交叉就非常常见；另外还有和复分析、表示论之间的交叉。如果你做的是可积系统，里面会涉及表示论中的代数结构；而概率和理论计算机等学科关系也都非常紧密。其他方向也是一样，比如PDE和调和分析、组合和代数几何之间，也都存在大量交叉。现在已经比较少有人是完全孤立地只研究一个非常狭窄的小领域，而不和其他方向产生任何联系。所以“合作”就变得越来越重要。在跨领域的合作中，每个人擅长的技术背景不一样，可以在合作中各自发挥特长，相互学习。我自己每次和不同的合作者合作，都有一种“被扩展”的感觉。这种合作有点像交响乐团的演出，通过默契的配合演奏出动人的音乐，这是一个很有趣的过程。

我刚才提到，对我个人而言，从博士阶段开始，我自己的背景就已经带有一定的交叉性。当时学习和重整化相关的各种问题，一方面，让我建立起了一个更宏观的、结构性的知识框架；另一方面，也让我在后续和不同背景的研究者合作时更容易“对接”上，有共同语言。可以说，这种交叉的背景，帮助我拓展了思路，也丰富了我对问题的理解方式。

Q6：关于如何找问题您有什么可分享的经验吗？

A：我可以从自己的一个例子讲起。我博士毕业后去找Martin Hairer做博士后。当时用Hairer的理论研究奇异SPDE这个领域还处在一个比较早期的阶段，研究的主要是像φ⁴这样的比较基本的模型。所谓“基本”是说这些模型对应的确定性PDE部分比较简单，对应的量子场论背景也相对基础。但如果从物理的角度来看，其实更深刻、更有意思的是“规范场论”。从几何的角度也一样，显然Yang–Mills这一类有几何意义的方程，比φ⁴要更丰富、更有结构性。所以当时我就产生了一个想法：我们是不是可以尝试研究随机Yang–Mills理论？

于是我先写了一篇关于交换群情形的小文章。那时候我虽然没有用到特别深的几何工具，但北大期间积累的一些几何背景还是很有用的。例如文中涉及的DeTurck技巧，其实是北大时期在田刚老师的几何讨论班上学到的一些内容，但这类技巧在做纯粹随机分析的人那里可能不太常见。后来我和Hairer等人继续做更general的非交换情形。回想起来这确实是个不错的问题，它有重要的物理背景，能联系到几何等其他学科，发挥一点自己在其他方向的背景，而且研究无穷维对称性也确实是把SPDE向前推进了一步。不过，说到底，一个好问题还得是能让自己想到就会兴奋的问题。

找问题确实是科研中非常关键的能力，我自己也是慢慢摸索。这是个长期积累的过程，或者说是从学生时代就要开始培养的一种习惯。比如刚开始学习数学的时候，最自然的反应就是“我为什么要学这个概念？这个东西是干什么用的？”——这种反应本身就很宝贵。要学会抓住这些“问号”，而不是被动接受。以前学习数学一个概念只能先接受，后来才理解它的作用。现在网络和AI能更快地了解一个概念的背景和应用，增强学习的动机。我觉得学完一门课，你的笔记本上不仅应该有证明推导，更应该有各种问号：比如，如果这个条件不成立会怎样？自己能否构造一些例子？等等，这种生动而带着问题意识的学习过程，对之后的研究比较重要。

申皓在2023年暑期北大数学校友论坛期间作报告

Q7：做研究的过程中有没有特别困难的瓶颈时刻？您通常是如何度过这些时期的？

A：做科研肯定是比较困难的，大家都是这样。有些问题长时间没有思路，有时候还会担心毕业、找教职、论文发表。所以一直伴随着困难。但是我觉得有一件事还是确定的，就是解决问题的能力的提升肯定是跟投入的时间和努力成正比的。这是在很多不确定的事情中，比较确定的事情。

经过一些努力和时间的投入之后，就有了一套自己的工具箱，掌握了一些技术，还有一个存着各种各样问题的口袋。你可以经常把它们翻出来。如果一个问题实在想不出，还可以换一个试试，或者用这个问题的方法去试试另一个问题。然后这种过程是交错进行的，并不是说你十年或者很多年一直盯着一个事不做别的。这个过程中，你会慢慢更了解自己的能力和性格，发现自己适合什么样的问题，适合什么样的风格，慢慢地找到一条自己的路。

我觉得每一行都没有那么一帆风顺，需要很多努力才能有成果。总之生活中还是要保持乐观，出去运动一下，保持良好的人际关系，不用太在意一时的得失。

Q8：您如何描述自己的研究风格？您是偏好快速解决问题，还是更倾向于慢工出细活？

A：感觉在委婉地问我是天赋型选手还是努力型选手（笑）。我觉得这得看问题的阶段。如果是下决心解决一个困难的问题，刚开始肯定是有一个非常缓慢的酝酿阶段。可能会花几年时间去思考如何formulate问题、提炼问题的核心，思考大致使用什么样的approach和工具。这是一个比较长的准备阶段，可能需要一些零散的初步想法，记录成notes。最后写论文时，这些notes也许并没有直接用上，但仍然需要这段酝酿过程。这段时间并不是说什么都不做，可能同时会进行一些其他的小问题，这些问题是切实可行的，能够帮助你推进思考。

如果问题发展到你觉得可以具体化、切实可行的阶段，进入论证和计算阶段，那我觉得肯定是需要快速推进的。每个人的技术天赋和手中的工具不一样，但我觉得专注的力量是巨大的，不要让其他事务干扰你，一定要集中精力尽快完成证明和计算。

最后的成稿阶段也非常重要。我认为在这一阶段，慢工出细活是必不可少的。一定要仔细修改文章，确保不仅自己能看懂，还要考虑读者的理解，保证论文非常清晰，以至于很多年后，别人再读时仍然能感受到这是一个漂亮和严谨的工作。这时候花时间细致打磨，往往事半功倍。因为我们做科研，不光是把文章发表出去，也希望自己的工作能够流传下去。如果想法好却没写清楚，就可惜了。我记得Martin Hairer对写作要求就非常高。有一次，我画了一张图，他在LaTeX中放大镜功能下特意查看图的每一个细节，看图是不是做得完美。

申皓2018年在纽约大都会博物馆参观

Q9：您如何看待目前国内概率与数学物理研究的发展趋势？有没有特别关注的一些国内年轻学者或方向？

A：这个问题可能有些宏大。概率与数学物理是非常巨大的领域，其中许多子方向我也只是“一知半解”，一个人不太可能对所有方向都了解。我个人感兴趣的方向还是与物理、PDE、几何交叉相关的领域。

比如在物理方面，我比较感兴趣统计物理方向的一些离散模型。前段时间我访问北大的时候，看到北大的丁剑在统计物理离散模型这一块，带领的学生团队水平非常高。再比如，我对与物理相关的量子场论、共形场论也非常感兴趣，我经常和孙鑫讨论这些问题。还有许惟钧，我们也经常进行讨论和合作。但其实交流更多是非正式的，很多时候我们是在吃饭、聊天、散步（笑）。另外，涉及PDE和随机PDE相关的研究，我和北京的朱湘禅和朱蓉禅是长期的合作伙伴。偶尔，我也会与几何领域的一些朋友闲聊，因为我发现他们也非常关心量子场论、路径积分之类的问题。

关于国内的研究发展趋势，我觉得我刚才提到的这些年轻学者，都是在国外学成并取得了显著成果后回国的。这显然表明，国内在吸引人才方面确实做得很好。而且在我访问北京的过程中，我也发现现在北京的学术活动非常活跃，大家的心态也都很积极向上。我回国之前有人说现在很“卷”，但我回国后发现，大家的氛围其实还是挺欢乐的。

Q10：能不能更详细地说说您感受到的欢乐氛围，大概是表现在哪些方面？

A：我觉得现在年轻一代，如果我自己也算年轻一代的话（笑），他们挺有幽默感的。无论是自嘲还是其他方面，大家似乎都能以一种轻松的态度看待事情。所谓的“卷”当然有它的问题，但大家并没有太过悲观，而是乐观地看待很多事情，这是我感受到的第一个点。

第二个，我觉得国内的自我修复能力非常强。几年前回国时看到的一些问题，再过三年回来看，这些问题似乎就被神奇地解决了。就像之前的雾霾问题，现在已经好多了。即使是一些所谓体制性的问题，也在逐步解决或者改进。国外很多问题感觉是系统性的，不是那么容易改变。所以，我觉得这也是大家保持乐观心态的原因之一，因为许多事情发展得很快，问题在发展中得到了解决。

北京国际数学研究中心办公院落一角

Q11：现在越来越多的中国学生从本科阶段就开始关注前沿数学研究，甚至提早接触SPDE、几何测度、量子场论等交叉方向。您对这些年轻学生有什么建议？

A：我个人觉得本科阶段最重要的还是要把基础课程学好。像实变函数、泛函分析这些课，需要把细节想透，不要成为所谓的“名词党”，即能说出很多大概念，但实际上并不清楚它们的具体含义。现在随着AI的发展，获取新知识已经变得更容易。你可以问GPT什么是费曼图，它会很清楚地解释给你，而且如果你不懂，还可以继续追问，这是互动式的学习。所以，获取知识并不难。但真正能够分析问题、解决问题的能力，永远是稀缺的资源，是需要通过刻苦训练来获得的。

另外，刚才提到的基础课程，学完后可以多注意它们之间的联系。比如回头看看学过的泛函分析和PDE之间有什么关系。这么做的话，你会拥有一个结构化的知识体系，而不是零散的知识点。这样的积累对未来的科研工作是非常有帮助的。

至于你提到的量子力学、统计力学等物理课程，你当然可以抽空找一本书，像看小说一样不求甚解地浏览一遍，了解大概内容。如果你觉得这些内容有趣，而且能够与自己的已有知识产生共鸣，比如看统计力学时发现其中的某些内容正是概率论的一部分，那时你可以根据兴趣进一步深入学习。但如果你觉得这些内容枯燥乏味，根本不理解它们在讲什么，可能是这本书写得不好，或者本科看这个还有点早，那也没关系。不要因为其他同学在学习这些内容，你就感到焦虑，也不要因为学了这些内容就去吓唬其他同学。这是我个人的一些建议。

Q12：如果让您给现在北大的本科生一句建议，您最想说什么？

A：我觉得北大的同学一般都很有主见，通常不太听别人的建议（笑）。但我觉得最重要的还是要有自己的主见。

我可能只能说非常羡慕你们现在的时光，因为年轻，有大把时间去体验各种有趣的事情。可以花很多时间学习理论数学、应用数学、统计学、人工智能，有时间发展各种业余爱好，规划未来，探索各种可能性。

来自：北京国际数学研究中心